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本科生课程:00331333

数学分析(三)  Mathematical analysis 

学分:3.0  周学时:4
 

预备常识:
数学分析(一)、(二)
 
课程概况:

高等微积分是工学院的重要基础课程,它为众多后续课程的教学提供必要的基础,也为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生掌握本课程的基本内容和方法,对达到专业的业务培养要求具有关键的作用。
 
教学方式:

课堂讲授和习题课相结合
 
课程教材:

张筑生,数学分析新讲(三),北京大学出版社,1990
 
参考书目:

[1]方企勤等,数学分析(三),高等教育出版社,1986
[2](美)柯朗等,微积分与数学分析教程引论(两卷五分册),科学出版社,1979
[3](苏)吉米多维奇,数学分析习题集,人民教育出版社,1956
 
课程考核办法及评分标准(仅作为参考):

平时成绩20%
期中成绩50%
期末成绩30%

课程进度表(仅作为参考):

节次
主要内容
1
第一型曲面积分
2 第二型曲线积分
3 曲面定向与第二型曲面积分
4 第二型曲面积分
5 Green公式
6 Gauss公式、Stokes公式
7 微分形式,Brouwer不动点定理(概况)
8 曲线积分与路径无关的条件
9
曲线积分与路径无关的条件(6.d中关于同伦的部分不讲)
10
恰当微分方程与积分因子
11 场论先容(17章全部)
12 期中考试
13 数项级数(概说、正项级数(部分))
14 正项级数(部分)
15 任意项级数
16 绝对收敛与条件收敛级数的性质
17 级数乘法的进一步讨论、无穷乘积
18 函数序列与函数级数(概说,一致收敛)
19
极限函数的分析性质
20 幂级数
21 用多项式逼近连续函数,两个著名的例子(只讲Weiestrass函数)
22
Fourier级数(概说,正交函数系,Bessel不等式)
23 Fourier级数的逐点收敛(部分)
24 Fourier级数的逐点收敛
25 均方收敛与Parseval等式(等周问题不讲)
26
周期为2l的Fourier级数,Fourier级数的复数形式,Fourier积分概况(弦的自由振动不讲)
27 课程总结

注:进度仅作为参考,实际授课略有调整,次序不


授课内容:

第十四章 微分学的几何应用
曲线的切线与曲面的切平面
曲线的曲率与挠率,Frenet公式
曲面的第一第二基本形式不讲
第十五章 第一型曲线积分与第一型曲面积分
第一型曲线积分 可求长曲线,第一型曲线积分
第一型曲面积分与曲面面积
 
第十六章 第二型曲线积分与第二型曲面积分
第二型曲线积分 定义与性质(线性,可加性,有向性),计算,与第一型曲线积分的关系
第二型曲面积分 问题提出,曲面定向,定义,第二型曲面积分的计算,与第一型曲面积分的关系
Green公式,Gauss公式,Stokes公式
微分形式,Stokes型公式
Brouwer不动点定理
曲线积分与路径无关条件 平面单连通情形,平面多连通情形,原函数计算,空间区域单连通与多连通,外微分描述(恰当形式,闭形式)
恰当微分方程与积分因子
 
第十七章 场论先容
数量场的方向导数与梯度
向量场的通量与散度
方向旋量与旋度
场论公式
保守场与势函数
 
第十八章 数项级数
概说 级数与序列的关系
正项级数 收敛原理,比较判别法(普通形式和极限形式),根式判别法(普通形式和极限形式),积分判别法,比值判别法(普通形式和极限形式)D’Alembert,Raabe,Gauss判别法
上下极限及应用,下极限,D’Alembert,Raabe,Cauchy判别法的上下极限形式
任意项级数 Cauchy收敛原理,条件收敛的Dirichlet判别法和Abel判别法
绝对收敛与条件收敛级数性质 收敛级数的可结合性,绝对收敛级数的可交换性,条件收敛级数的重排,级数乘法
级数乘法的进一步讨论
无穷乘积 与级数的关系
 
第十九章 函数序列与函数级数
概说 极限函数
一致收敛 Cauchy收敛原理(序列形式,级数形式),一致收敛的Weiertrass,Dirichlet,Abel判别法
极限函数的分析性质 连续性,可微性,可积性(极限交换次序),Dini定理(序列和级数形式)
幂级数,收敛半径,和函数性质,初等函数的幂级数展开
连续函数的多项式逼近
 
第二十章 Fourier级数
概说
正交函数系,Bessel不等式
Fourier级数的逐点收敛性 ,Riemann-Lebesgue引理(Dirichlet引理),Fourier级数部分和的积分表示(Riemann局部化引理),Dini-Liptchitz判别法,Dirichlet判别法,逐点收敛的极限函数
均方收敛与Parseval等式 Fejer和的一致收敛 均方逼近
周期为2l的Fourier级数
Fourier级数的复数形式和Fourier积分

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